Question

已知橢圓C：的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，B為短軸的端點(diǎn)，△A₁BA₂的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）F₂為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是橢圓C上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁P，A₂P與直線x=4分別交于M，N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于點(diǎn)F₂．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，可得，解得a=2，． …（4分）
故所求橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知A₁（-2，0），A₂（2，0），F(xiàn)₂（1，0）．
設(shè)，則．
于是直線A₁P方程為 ，令x=4，得；
所以M（4，），同理N（4，）． …（7分）
所以=（3，），=（3，）．
所以=（3，）•（3，）===．
所以F₂M⊥F₂N，點(diǎn)F₂在以MN為直徑的圓上． …（9分）
設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則E（4，）． …（10分）
又=（3，），，
所以=（3，）
=．
所以F₂E⊥F₂P． …（12分）
因?yàn)镕₂E是以MN為直徑的圓的半徑，E為圓心，F(xiàn)₂E⊥F₂P，
故以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于右焦點(diǎn)． …（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，B為短軸的端點(diǎn)，△A₁BA₂的面積為，建立方程組，可求橢圓方程；
（Ⅱ）求出M、N的坐標(biāo)，利用向量證明F₂M⊥F₂N，點(diǎn)F₂在以MN為直徑的圓上，確定MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用向量證明F₂E⊥F₂P，即可證得以MN為直徑的圓與直線PF₂相切于右焦點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積證明垂直關(guān)系．