如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 為等邊三角形，，點為中點，平面平面.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.
（1）異面直線和所成角的余弦值為;（2）二面角的大小為.

試題分析：（1）建立如圖所示坐標系,寫出各點的空間坐標，利用，夾角的余弦，得出兩異面直線和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量與平面的法向量的夾角，求出二面角的大小.
試題解析：

解：取的中點，連接，為等邊三角形，
，又平面平面， 2分
以為原點，過點垂直的直線為軸，為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，不妨設,依題意可得：
 3分
（1）,
從而 ,
 5分
于是異面直線和所成角的余弦值為.6分
（2）因為，所以是平面的法向量，8分
設平面的法向量為，又，
由 即，令得 10分
于是 11分
從而二面角的大小為.                     12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，點D為AC的中點，點E在線段AA1上．

(1)當AE∶EA1＝1∶2時，求證DE⊥BC1；
(2)是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

以下四組向量：
①
a
=(1，-2，1)，
b
=(-1，2，-1)；
②
a
=(8，4，0)，
b
=(2，1，0)；
③
a
=(1，0，-1)，
b
=(-3，0，3)；
④
a
=(-
4
3
，1，-1)，
b
=(4，-3，3)
其中互相平行的是（　�。�
A．②③B．①④C．①②④D．①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知
a
=（2，-1，2），
b
=（-1，3，-3），
c
=（13，6，λ），若向量
a
，
b
，
c
共面，則λ=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若向量圍繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量的坐標為　　　　．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知向量，,,則(     )
A．B．C．5D．25

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