Question

6．已知在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，F(xiàn)E：FD=4：3．
（Ⅰ）求證：AF=DF； 
（Ⅱ）求∠AED的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AF=DF，可以證明△AEF≌△DEF得出；
（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∴∠ADE=∠DAE．
∴EA=ED．
∵DE是半圓C的直徑，
∴∠DFE=90°．
∴AF=DF．…（5分）
解：（Ⅱ）連結DM，
∵DE是半圓C的直徑，
∴∠DME=90°．
∵FE：FD=4：3，
∴可設FE=4x，則FD=3x．
由勾股定理，得DE=5x．
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=3.6x
∴ME=AE-AM=5x-3.6x=1.4x
在Rt△DME中，cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$=$\frac{7}{25}$．…（10分）

點評 本題考查相似三角形的判定，切割線定理，勾股定理，圓周角定理等知識點的綜合運用．