Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D是棱CC₁的中點(diǎn)，A₁D⊥AB₁；
（Ⅰ）求AA₁的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁=C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立坐標(biāo)系運(yùn)用A₁D•AB₁=0，運(yùn)用坐標(biāo)求解即可．
（Ⅱ）求解平面的法向量，運(yùn)用A₁D•AB₁=0，得出

n

，再運(yùn)用數(shù)量積求解cos＜

n

，

A1D

＞即可得出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=a，則A₁=（0，A，

3

），D（0，

a

2

，0），
A（0，0，

3

），B₁=（1，a，0），

AB1

=（1，a．-

3

），

A1D

=（0，-

a

2

，-

3

），
∵，A₁D⊥AB₁
∴A₁D•AB₁=0，
即-

a2

2

+3=0，解得：a=

6

，
∴AA₁的長(zhǎng)為

6

．

（Ⅱ）設(shè)平面AA₁B₁的法向量為

n

=（x，y，z），
A₁D•AB₁=0，
∴

6 y=0 x+ 6 y- 3 z=0

令z=1，y=0，x=

3

，
∴

n

=（

3

，0，1）
∵AD₁⊥AB₁，AD₁⊥B₁C₁，
∴A₁D⊥平面AB₁C₁，
平面AB₁C₁的法向量為

A1D

=（0，-

6

2

，-

3

），
cos＜

n

，

A1D

＞=

- 3

2• 6 4 +3

=-

6

6

，
二面角A₁-AB₁=C₁的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量在求夾角，距離終點(diǎn)運(yùn)用屬于中檔題，關(guān)鍵是求解法向量，數(shù)量積，計(jì)算準(zhǔn)確．