Question

如圖，4×4的方陣共16個黑點中，中間的4個點在一個圓內(nèi)，其余的12個點內(nèi)在圓外，若從這16個點中任取3個，使之構(gòu)成三角形，且至少有一個頂點在圓內(nèi)的三角形共有    ．

Answer 1

【答案】分析：事件“至少有一個頂點在圓內(nèi)”包括了三個事件“有一個點在圓內(nèi)”與“有兩個點在圓內(nèi)”及“三個點在圓內(nèi)”，注意到構(gòu)成三角形的條件是三點不共線，由此規(guī)律對兩個事件計數(shù)，求得它們的和即為事件“至少有一個頂點在圓內(nèi)”所包括的基本事件數(shù)
解答：解：由題意事件“至少有一個頂點在圓內(nèi)”包括了三個事件“有一個點在圓內(nèi)”與“有兩個點在圓內(nèi)”，“三個點在圓內(nèi)”
先計算事件“有一個點在圓內(nèi)”，從圓外的12個點中取兩個，共有C₁₂²=66種取法，三點共線的取法有4種，故總的取法有62種，又圓內(nèi)有四個點，故事件“有一個點在圓內(nèi)”包括的基本事件數(shù)有62×4=248，
對于事件“有兩個點在圓內(nèi)”，從圓外取一個點有12種取法，滿足三點共線的取法有2種，故任取圓內(nèi)兩點，圓外取一點，組成的三角形的個數(shù)為10種，又圓內(nèi)四點取兩個有C₄²=6種取法，故事件“有兩個點在圓內(nèi)”，包含的基本事件數(shù)為10×6=60種
事件“三個在圓內(nèi)”包括的基本事件數(shù)為C₄³=4個，
綜上，事件“至少有一個頂點在圓內(nèi)”的三角形總共有248+60+4=312種
故答案為312
點評：本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解事件至少有一個頂點在圓內(nèi)的三角形”，將此計數(shù)問題分為三類計數(shù)，本題考查了分類討論的思想，當一個事件包含的基本事件有較大的區(qū)別時，常采用分類計數(shù)的辦法計數(shù)，解題時要注意此技巧的使用，注意分類要分清楚．