Question

如圖所示，在底面是正方形的四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，連接AC，交BD于O，連OE，易證OE∥PA，即證PA∥平面BDE；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
求出平面DEC的法向量

DA

，平面DBE的法向量

n

，利用法向量求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答： 解：（1）證明：如圖所示，連接AC，交BD于O，連OE，
∵E是PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴OE∥PA； 
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
令PD=DC=1，則平面DEC的法向量是

DA

=（1，0，0），
設(shè)平面DBE的法向量為

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

DB

，

n

⊥

DE

，
且

DB

=（1，1，0），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）；
∴

1•x+1•y+0•z=0 0•x+ 1 2 •y+ 1 2 •z=0

，
得

n

=（1，-1，1）；
cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |×| n |

=

1×1-1×0+1×0

1× 3

=

3

3

，
由題意知二面角B-DE-C的平面角為銳角，
∴二面角B-DE-C的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，也考查了空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的應(yīng)用問題，是中檔題目．