如圖，橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點為，上下頂點分別為A，B，已知△AFB是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F作傾斜角為α的直線l交橢圓C于M、N兩點，求證：|MN|=．

【答案】分析：（I）利用左焦點為，上下頂點分別為A，B，△AFB是等邊三角形，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，計算|MN|，即可得到結(jié)論．
解答：（I）解：由題意，，，∴b=2
∴=4
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，設(shè)k=tanα，l：
代入，可得（1+4k2）x2+x+48k2-16=0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=-，x1x2=
∴|x1-x2|==
∴|MN|====
當(dāng)時，|MN|=2，=2，∴|MN|=．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1（a＞b＞0）的左右頂點為A1，A2，左右焦點為F1，F(xiàn)2，其中F1，F(xiàn)2是A1A2的三等分點，A是橢圓上任意一點，且|AF1|+|AF2|=6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AF1與橢圓交于另一點B，與y軸交于一點C，記m=數(shù)學(xué)公式，n=數(shù)學(xué)公式，若點A在第一象限，求m+n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：+=1的右頂點是A，上下兩個頂點分別為B，D，四邊形DAMB是矩形（O為坐標(biāo)原點），點E，P分別是線段OA，MA的中點．
（1）求證：直線DE與直線BP的交點在橢圓C上．
（2）過點B的直線l1，l2與橢圓C分別交于R，S（不同于B點），且它們的斜率k1，k2滿足k1•k2=-求證：直線SR過定點，并求出此定點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年數(shù)學(xué)暑期綜合練習(xí)（2）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點F1，F(xiàn)2和短軸的一個端點A構(gòu)成等邊三角形，點（，）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P是橢圓C上的動點，PQ⊥l，垂足為Q．是否存在點P，使得△F1PQ為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)、海安中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點F1，F(xiàn)2和短軸的一個端點A構(gòu)成等邊三角形，點（，）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P是橢圓C上的動點，PQ⊥l，垂足為Q．是否存在點P，使得△F1PQ為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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