Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為

3

x+y=0，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，|BF|=1，過F作直線交此雙曲線的右支于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-17，求△PBQ的面積S．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1，結(jié)合題意可得關(guān)于a、b、c的方程組，解可得答案；
（2）分兩種情況討論：第一種情況：若直線PQ的斜率不存在，不合題意；第二種情況：若直線PQ的斜率存在，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ的方程為y=k（x-2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）由題意得：

b a = 3 c-a=1 c 2=a 2+b 2

解得：

a=1 b= 3

∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1--------------------------------------------------------（4分）
（2）第一種情況：若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x=2P（2，3）、Q（2，-3），

OP

•

OQ

=13≠-17，不合題意；--------------------------------（6分）
第二種情況：若直線PQ的斜率存在，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線PQ的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程可得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*） 
且判別式△=36k²+36＞0--（7分）
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以3-k²≠0，且

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，解得k³＞3-----------（8分）
所以y1y2=k(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

9k2

k2-3

而

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x1，y2)，由于

OP

•

OQ

=-17，所以x₁x₂+y₁y₂=-17
所以

4k2+3

k2-3

-

9k2

k2-3

=-17，得k²=4＞3
此時x₁+x₂=16，x₁x₂=19，y₁y₂=-36，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=12k
所以S△PBQ=

1

2

•|BF|×|y1-y2|=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(12k)2+4×36

=6

5

即△PBQ的面積是6

5

-----------（11分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，（2）的計算運(yùn)用了坐標(biāo)法，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，是典型的解析幾何方法，需要加強(qiáng)訓(xùn)練．