在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,已知一個圓心在坐標(biāo)原點,半徑為2的圓,從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′,P′為垂足.
(1)求線段PP′中點M的軌跡C的方程.
(2)過點Q(一2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點,設(shè)N是過點(-
4
17
,0),且以言
a
=(0,1)
為方向向量的直線上一動點,滿足
ON
=
OA
+
OB
(O為坐標(biāo)原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線Z的方程;若不存在,說明理由.
分析:(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點,然后設(shè)出P,P'坐標(biāo)代入方程,化簡即可求出軌跡C的方程.
(2)設(shè)出直線l的方程,以及與橢圓的交點坐標(biāo),將直線方程代入已知C的方程,聯(lián)立并化簡,根據(jù)根的判別式計算
解答:解:(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點,
P(x1,y1)是方程x2+y2=4的圓上的任意一點,則p'(0,y1).
則有:
x=
x1
2
y=
y1+y1
2
,即
x1=2x
y1=y
,代入x2+y2=4得,
軌跡C的方程為x2+
y2
4
=1

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,與橢圓無交點.
所以設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,N點所
在直線方程為x+
4
17
=0

x2+
y2
4
=1
y=k(x+2)
得(4+k2)x2+4k2x+4k2-4=0.
由△=16k4-4(4+k2)(4k2-4)≥0,∴k2
4
3

-
2
3
3
≤k≤
2
3
3
.
x1+x2=
-4k2
4+k2
x1x2=
4(k2-1)
4+k2
.

ON
=
OA
+
OB
,即
AN
=
OB

∴四邊形OANB為平行四邊形
假設(shè)存在矩形OANB,則
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,
即(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0,
于是有
16k2-4
4+k2
=0
k=±
1
2

設(shè)N(x0,y0),由
ON
=
OA
+
OB
x0=x1+x2=-
4k2
4+k2
=-
4
17

即點N在直線x=-
4
17
上.∴存在直線l使四邊形OANB為矩形,
直線l的方程為y=±
1
2
(x+2)
點評:本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用,通過對圓錐曲線知識的綜合運(yùn)用,考查學(xué)生的能力,屬于中檔題.
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