【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱(chēng)是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足.

（1）求證： 是數(shù)列的母函數(shù)；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： .

【答案】(Ⅰ)(1)證明見(jiàn)解析；(2) ；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)(1)由題意結(jié)合母函數(shù)的定義即可證得結(jié)論；

(2)由題意錯(cuò)位相減可得；

(Ⅱ)由題意結(jié)合不等式的特點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）(1)由題知，且

.

是數(shù)列的母函數(shù)；

(2) 由(1) 知： 是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，故.

①

②

兩式相減得： .

.

（Ⅱ）由題知： ， .

.

從而是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列

又

故當(dāng)時(shí)

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間滿(mǎn)足？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象過(guò)點(diǎn)P ，圖象與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為 .

(1)求函數(shù)解析式；

(2)求函數(shù)的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值；

(3)求使y≤0時(shí)，x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)上是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照， ，…， 分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求直方圖中 的值；

（Ⅱ）已知該市有80萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．

（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，試判斷的符號(hào)，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若和在區(qū)間上具有時(shí)間的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)第五次會(huì)議和政協(xié)第十二屆全國(guó)委員會(huì)第五次會(huì)議（簡(jiǎn)稱(chēng)兩會(huì)）分別于2017年3月5日和3月3日在北京開(kāi)幕，某高校學(xué)生會(huì)為了解該校學(xué)生對(duì)全國(guó)兩會(huì)的關(guān)注情況，隨機(jī)調(diào)查了該校200名學(xué)生，并將這200名學(xué)生分為對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”與“不太關(guān)注”兩類(lèi)，已知這200名學(xué)生中男生比女生多20人，對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)比女生人數(shù)之比為，對(duì)兩會(huì)“不太關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少5人．

（Ⅰ）根據(jù)題意建立的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對(duì)兩會(huì)的關(guān)注有差異？

（Ⅱ）該校學(xué)生會(huì)從對(duì)兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，從中抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)選出2人參與兩會(huì)宣傳活動(dòng)，求這2人全是男生的概率．

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， （、為常數(shù)）．　

（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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