Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用周期公式即可得解．
（Ⅱ）由已知可求$sin（2A+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，結(jié)合A為銳角，可得$cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，利用余弦定理，基本不等式可求$bc≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$，進而利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\sqrt{2}×\frac{1-cosx}{2}$=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{1}$=2π；…（5分）
（Ⅱ）由$f（2A）=sin（2A+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=0$，得$sin（2A+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由題意知A為銳角，所以$A=\frac{π}{4}$，可得：$cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（8分）
由余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA可得：1+\sqrt{2}bc={b^2}+{c^2}≥2bc$，
即$bc≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$，當且僅當b=c時等號成立，…（10分）
因此$\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}$，
所以△ABC面積的最大值為$\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，屬于中檔題．