Question

若函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區(qū)間[-10，10]上，則使得方程f（x）=1000有正整數(shù)解的實數(shù)a的取值的個數(shù)為________．

Answer 1

3
分析：由題意根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區(qū)間[-10，10]上可得a的范圍，然后對f（x）進行求導，求出函數(shù)在區(qū)間[-10，10]上的最大值，然后再進行判斷．
解答：∵函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區(qū)間[-10，10]上，又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±．
函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區(qū)間[-10，10]上，∴≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x²-a，令f′（x）=0，解得 x=±．
當x＜-，或 x＞時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．當-＜x＜時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
故當x=-時，函數(shù)取得極大值為f（-）=≤．
∵＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，結合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）=x³-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整數(shù)解在區(qū)間[10，+∞）上，此時令x³-ax=1000，可得 x²-a=．
此時有a=x²-，由于x為大于10的整數(shù)，由上知 x²-≤100，令x=11，12，13時，不等式成立，
當x=14時，有142-=196-71＞100，故可得a的值有三個，
故答案為 3．
點評：此題考查函數(shù)的零點與方程根的關系，解題的關鍵是求出f（x）在區(qū)間[-10，10]上的值域，是一道好題，屬于基礎題．