ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，
π
3
＜C＜
π
2
，且
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
．
（1）判斷△ABC的形狀
（2）若|
BA
+
BC
|=2，求
BA
•
BC
的取值范圍、
分析：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的數(shù)量積運算，向量的模等知識點．
（1）要判斷△ABC的形狀，我們可由
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
，結(jié)論正弦定理邊角互化的原則，將式子中邊全部化為對應(yīng)角的正弦值，然后根據(jù)兩角和與差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因為
π
3
＜C＜
π
2
，我們易判斷三角形的形狀．
（2）由|
BA
+
BC
|=2，兩邊平方后，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可求出B的表達(dá)式及取值范圍，進(jìn)而求出
BA
•
BC
的取值范圍．
解答：解：（1）
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
?
sinB
sinA-sinB
=
sin2C
sinA-sin2C

?sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
?sinB=sin2C，
因為
π
3
＜C＜
π
2
，
所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C
即△ABC為等腰三角形．
（2）因為|
BA
+
BC
|=2?(|
BA
+
BC
|)2=4?a2+c2+2accosB=4又A=C?a=c
所以cosB=
2-a2
a2
，
而cosB=-cos2C，
π
3
＜C＜
π
2

所以
1
2
＜cosB＜1?1＜a2＜
4
3
BA
•
BC
=cacosB=a2cosB=2-a2∈(
2
3
，1)
點評：要根據(jù)某個恒成立的三角函數(shù)關(guān)系式，判斷三角形的形狀，一般的思路是分析角與角的關(guān)系，如果有三個角相等，則為等邊三角形；如果只能得到兩個角相等，則為普通的等腰三角形；如果兩個角和為90°，或一個角為90°，則為直角三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是角∠A、∠B、∠C所對的邊．已知4sinBcos2
B
2
=sin2B+
3
．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a=4，△ABC的面積為5
3
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2
B
2
=
3
sinB，b=1．
（1）若A=
5π
12
，求邊c的大��；   
（2）求AC邊上高的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，b=4，c=5，面積為5
3
，求該三角形外接圓半徑（　�。�
A、
21
B、
7
C、、2
7
D、3
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，函數(shù)f(x)=
m
•
n
，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為
π
2

（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，f（A）=1，△ABC的面積S=5
3
，b=4，求a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，sinA=
4
5
，A∈(
π
2
，π)，a=
41
，S△ABC=4．
（Ⅰ）求cos(A-
π
4
)的值；
（Ⅱ）求b+c的值．

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