分析 由已知可得EH∥AC∥FG,且VH:VC=VE:VA=EH:AC=2:3,連接VF、VG、AG、AH,則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和,多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-AGC的體積和.找出各多面體體積的關(guān)系得答案.
解答 解:如圖,∵四邊形EFGH為平行四邊形,∴EH=FG,且EH∥FG,
∴EH∥平面ABC,又EH?平面VAC,平面VAC∩平面ABC=AC,
∴EH∥AC,則EH∥AC∥FG,
∵P為△VAC的中心,∴VH:VC=VE:VA=EH:AC=2:3,
而EH=FG,
∴BF:BA=BG:BC=FG:AC=2:3.
連接VF、VG、AG、AH,
則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V-EFGH的體積與三棱錐V-BFG的體積和,
多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A-EFGH的體積與三棱錐H-AGC的體積和.
∵四棱錐V-EFGH的高是四棱錐A-EFGH的高的2倍,底面積相等,
∴四棱錐V-EFGH的體積是四棱錐A-EFGH的體積的2倍;
∵三棱錐V-BFG的底面積是三棱錐H-AGC的底面積的$\frac{4}{3}$倍,高是3倍,
∴三棱錐V-BFG的體積是三棱錐H-AGC的體積的4倍.
設(shè)棱錐H-AGC的體積為V1,則三棱錐H-AFG的體積為$\frac{2}{3}{V}_{1}$,有四棱錐A-EFGH的體積是$\frac{4}{3}{V}_{1}$.
∴多面體EFGHAC的體積等于$\frac{7}{3}{V}_{1}$,多面體EFGHVB的體積等于$4{V}_{1}+\frac{8}{3}{V}_{1}=\frac{20}{3}{V}_{1}$,
∴多面體EFGHAC的體積與多面體EFGHVB的體積比等于$\frac{7}{20}$.
故答案為:$\frac{7}{20}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,幾何體的體積,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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