Question

4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且C=$\frac{π}{3}$，AC=4，△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，則球O的表面積為$\frac{33π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用正弦定理得BC=2，利用余弦定理得AB=2$\sqrt{3}$，△ABC的外接圓O′的半徑r=2，由三棱錐的體積得到球心O到平面ABC的距離OO′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由此求出球半徑，從而能求出球的表面積．

解答 解：∵△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且C=$\frac{π}{3}$，AC=4，△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×4×BC×sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，解得BC=2，
∴AB=$\sqrt{16+4-2×4×2×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC的外接圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}AC$=2，
∵△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球心O到平面ABC的距離OO′=$\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴球半徑R=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{33}{8}}$，
∴球的表面積S=4πR²=4π×$\frac{33}{8}$=$\frac{33π}{2}$．
故答案為：$\frac{33π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、余弦定理、球和三棱錐的性質(zhì)的合理運(yùn)用．