Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，試討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
（3）求出函數(shù)在x∈[0，

π

2

]時函數(shù)的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法推出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+

b

）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

．
所以函數(shù)的最小正周期為：π．
（2）因?yàn)楹瘮?shù) y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπk∈Z，即 kπ-

π

8

≤x≤

3π

8

+kπk∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ](k∈Z)．
（3）y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
y=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

∈[0，

3

2

]，
函數(shù)g（x）=f（x）-k=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，
當(dāng)k＜0或k＞

3

2

時，零點(diǎn)為0個；
當(dāng)k∈[1，

3

2

)時函數(shù)有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)k=

3

2

或0≤k＜1時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，考查計(jì)算能力．