Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且

OP

•

OF

=

FP

•

FQ

（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M．
（1）已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值
（2）求|

MA

|•|

MB

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)點P（x，y），由題中條件：“

OP

•

QF

=

FP

•

FQ

”得：x，y之間的關(guān)系，化簡得C：y²=4x．
（Ⅱ）（1）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-

2

m

）
聯(lián)立方程組

y2=4x x=my+1

，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與雙曲線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量的條件，從而解決問題．
（2）先將|

MA

|•|

MB

|=（

1+m2

）²|y₁-y_M||y₂-y_M|表示成關(guān)于m的函數(shù)形式，再利用基本不等式求此函數(shù)式的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），則Q（-1，y），由

OP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得C：y²=4x．
（Ⅱ）（1）設(shè)直線AB的方程為：
x=my+1（m≠0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-

2

m

）
聯(lián)立方程組

y2=4x x=my+1

，
消去x得：y₂-4my-4=0，
△=（-4m）²+12＞0，

y1+y2=4m y1y2=-4.

由

MA

=λ，

AF

，

MB

=λ2

BF

，
得：y1+

2

m

-λ1y1，y2+

2

m

=-λ2y2，
整理得：λ1=-1-

2

my1

，λ2=-1-

2

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

2

m

(

1

y1

+

1

y2

)
=-2-

2

m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

2

m

•

4m

-4

=0．
（2）解：|

MA

|•|

MB

|=（

1+m2

）²|y₁-y_M||y₂-y_M|
=（1+m²）|y₁y₂-y_M（y₁+y₂）+y_M²|
=（1+m²）|-4+

2

m

×4m+

4

m2

|
=(1+m2)(4+

4

m2

)
=4（2+m²+

1

m2

）≥4（2+2

m2• 1 m2

）=16、
當(dāng)且僅當(dāng)m2=

1

m2

，即m=±1時等號成立，所以|

MA

|•|

MB

|最小值為16．

點評：本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．