Question

21、已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝－ax²＋bx，a≠0。

（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

 

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C₁與函數(shù)g(x)圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點(diǎn)M、N，證明C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行。

Answer 1

21．解：（I），

則

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.

又因?yàn)?I>x>0時(shí)，則ax²+2x－1>0有x>0的解.

①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；

②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，而ax²+2x－1>0有x>0的解；

則△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1<a<0.

綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.

    （II）證法一  設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

     則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為

     C₁在點(diǎn)M處的切線斜率為

     C₂在點(diǎn)N處的切線斜率為

     假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則k₁=k₂.

     即，則

              =

       所以 

設(shè)則①

       令

則

       因?yàn)?SUB>時(shí)，，所以在）上單調(diào)遞增. 故

       則. 這與①矛盾，假設(shè)不成立.

       故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行.

證法二：同證法一得

       因?yàn)?SUB>，所以

       令，得  ②

       令

       因?yàn)?SUB>，所以時(shí)，

       故在[1，+上單調(diào)遞增.從而，即

       于是在[1，+上單調(diào)遞增.

       故即這與②矛盾，假設(shè)不成立.

       故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行.