Question

已知直線(xiàn)l在x軸、y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b＞0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：寫(xiě)出直線(xiàn)的截距式方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，則由a+b=（a+b）•(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

，然后利用基本不等式求最小值．

解答：解：∵直線(xiàn)l在x軸、y軸上的截距分別是a和b（a＞0，b＞0），
∴可設(shè)直線(xiàn)l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），
∴

1

a

+

4

b

=1．
∴a+b=（a+b）•(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

．
又a＞0，b＞0，
∴a+b=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9 （當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取“=”）．
∴a+b的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是“1”的代換，是基礎(chǔ)題．