已知四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=
6
,∠BAC=60°,E為AC的中點(diǎn);現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC折起,使點(diǎn)D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求證:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱錐D-ABE的體積.
分析:(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AB⊥DH,結(jié)合AB⊥BC,再根據(jù)線面垂直的判定定理,得到AB⊥平面BCD;
(2)利用三角形BCD作為底面,DH為高,不難用錐體體積公式求出三棱錐D-ABE的體積.
解答:解:(1)證明:∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∵DH⊥平面ABC,AB?面ABC
∴AB⊥DH
而BC∩DH=H,BC,DH?面BCD
∴AB⊥面BCD         …(5分)
(2)∵AB⊥面BCD,CD?面BCD
∴AB⊥CD
又∵AD⊥CD,AB∩AD=A,AB,AD?面ABD
∴CD⊥面ABD,而BD?面ABD
∴CD⊥BD
∵CD=
6
,∴AC=
2
CD=2
3

∴BC=ACsin60°=2
3
×
3
2
=3
∴BD=
BC2-CD2
=
3

在Rt△BCD中,DH=
BD•CD
BC
=
2
       …(10分)
∵DH⊥面ABC,AE=
1
2
AC=
3
,AB=ACcos60°=
3

∴VD-ABE=
1
3
S△ABE•DH=
1
3
×
1
2
AB•AE•sin60°•DH=
6
4
     …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題以平面翻折問題為例,證明了線面垂直并求幾何體的體積,著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面距離的求法和錐體體積公式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知四邊形ABCD中,
AB
=
a
+2
b
,
BC
=-4
a
-
b
,
CD
=-5
a
-3
b
.求證四邊形ABCD為梯形.

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精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD中,∠BAD=∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=3BC=3,AB=2
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(2)若點(diǎn)M分
PA
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已知四邊形ABCD中,
AB
=
1
2
DC
,且|
AD
|=|
BC
|,則四邊形ABCD的形狀是
等腰梯形
等腰梯形

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已知四邊形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且∠D=60°試求四邊形ABCD的面積.

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