Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-

3

2

，0)、F2(

3

2

，0)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且tan∠PF1F2=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，則雙曲線的離心率為

3 5

5

．

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理算出PF₁=2PF₂．根據(jù)tan∠PF₁F₂=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，結(jié)合三角形內(nèi)角和與兩角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，從而算出cos∠F₁PF₂值，根據(jù)余弦定理得到PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．將兩式聯(lián)解即得PF₁、PF₂的長，從而得到雙曲線的2a值，最后用離心率的公式可求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═

5

5

，sin∠PF₁F₂═

2 5

5

，
∴由正弦定理得

PF1

PF2

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=2，…①
又∵tan∠PF1F2=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=-

1 2 -2

1+ 1 2 ×2

=

3

4

，可得cos∠F₁PF₂=

4

5

，
△PF₁F₂中用余弦定理，得PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=F1F22=3，…②
①②聯(lián)解，得PF1=

2 15

3

，PF2=

15

3

，可得PF1-PF2=

15

3

，
∴雙曲線的2a=

15

3

，結(jié)合2c=

3

，得離心率e=

2c

2a

=

3 5

5

故答案為：

3 5

5

點(diǎn)評：本題以求雙曲線的離心率為載體，考查正余弦定理解三角形、兩角和的正切公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．