Question

如圖，半圓O的半徑為

3

，AB為直徑，C為

AB

的中點，D為

BC

的三分之一分點，且

DB

的長等于兩倍的

CD

長．連AD并延長交半圓O以C為切點的切線于E，則AE=

 

．

Answer 1

分析：由題設條件，AE存在于三角形ACE中，可根據(jù)題設條件求出此三角形的三個角，又三角形中的一個邊AC可以求出，由此，可以利用正弦定理求出線段AE的長度．

解答：解：由題設，AB為直徑，C為

AB

的中點，D為

BC

的三分之一分點，且

DB

的長等于兩倍的

CD

長．
知：∠ACB=90°，∠CAD=∠CAE=15°，
又連AD并延長交半圓O以C為切點的切線于E，CE是切線，
所以∠ECB=∠CAB=45°，由此知∠ACE=135°
所以∠CEA=30°
在RT△ACB中，可以解得AC=

6

由正弦定理知

6

sin300

=

AE

sin1350

解得AE=2

3

故答案為：2

3

點評：本題考點是與圓有關的比例線段，由于圓本身的特征，對與其有關的成比例線段的考查是考試的一個熱點，所用的知識有同弧反對的圓周角相等，圓周角等于圓心角的一半，以及切割線定理等，做題時要根據(jù)這些特征靈活選取，組合出做題的思路．本題中根據(jù)這些知識把問題歸結到一個三角形中來研究，給利用解三角形的相關知識解決問題帶來了方便．