Question

已知：如圖，圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點為F，若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點Q．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點P的坐標(biāo)為（1，1），
①求線段PQ的長；
②求證：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

分析：（1）因為a=

2

，e=

2

2

，所以c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①根據(jù)過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線l于點Q，可求Q的坐標(biāo)，從而可求線段PQ的長；
②直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．

解答：（1）解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
因為圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，所以|AB|=2

2

∵曲線C是以AB為長軸，∴2a=2

2

，∴a=

2

∵橢圓的離心率為

2

2

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=1
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1
（2）①解：由（1）知橢圓的左焦點F（-1，0），而點P（1，1）
所以直線PF的方程為

y-0

1-0

=

x+1

1+1

，即y=

1

2

(x+1)
直線QO的方程為y=-2x，而橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點Q的坐標(biāo)為（-2，4）
因此|PQ|=3

2

②證明：直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0
而點O到直線PQ的距離為d=

2

2

=

2

=r
所以直線PQ與圓O相切

點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，合理運用橢圓的幾何性質(zhì)．