Question

已知數列{a_n}滿足a₁=，且對任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求證：數列為等差數列；
（Ⅱ）試問數列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．
（Ⅲ）令，證明：對任意n∈N*，都有不等式成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以
所以數列是以為首項，公差為的等差數列．
（II）由（Ⅰ）可得數列的通項公式為，所以
∴=．
因為
當k∈N^*時，一定是正整數，所以是正整數．
所以a_k-a_k+1是數列{a_n}中的項，是第項．
（Ⅲ）證明：由（II）知：，．
下面用數學歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對任意n∈N*都成立．
（1）當n=1時，顯然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，有2^k+4＞（k+4）²，
當n=k+1時，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：也成立．
綜合（i）（ii）知：對任意n∈N^*，都有不等式成立．
分析：（Ⅰ）條件可變形為a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，整理得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，兩邊同除以a_na_n+1，可得，從而可得數列是以為首項，公差為的等差數列．
（II）由（Ⅰ）可得數列的通項公式為，所以，從而可得=．只需證明是正整數即可．
（Ⅲ）由（II）知：，．下面用數學歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對任意n∈N*都成立．對于當n=k（k∈N*）時，有2^k+4＞（k+4）²，當n=k+1時，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²，從而可證．
點評：本題以數列遞推式為載體，考查等差數列的定義，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確利用遞推式求通項，掌握數學歸納法的證題步驟．