設(shè)雙曲線C:
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q.
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T(mén),且
A1P
A2Q
=1,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(3)過(guò)點(diǎn)F(1,0)作直線l與(2)中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)
FA
=λ•
FB
,若λ∈[-2,-1],求|
TA
+
TB
|(T為(1)中的點(diǎn))的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出P、Q的坐標(biāo),求得向量的坐標(biāo),利用
A1P
A2Q
=1,P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得結(jié)論;
(2)利用三點(diǎn)共線建立方程,利用P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得軌跡方程;
(3)用坐標(biāo)表示
TA
+
TB
,利用韋達(dá)定理,求得模長(zhǎng),從而可得函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而可求其范圍.
解答:解:(1)由題,得A1(-
2
,0),A2
2
,0),
設(shè)P(x0,y0),Q(x0,-y0),則
A1P
=(x0+
2
,y0)
,
A2Q
=(x0-
2
,-y0)

A1P
A2Q
=1,可得
x
2
0
-
y
2
0
=3
 …①
又P(x0,y0)在雙曲線上,則
x
2
0
2
-
y
2
0
=1
   …②
聯(lián)立①、②,解得x0=±2  
由題意,x0>0,∴x0=2
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0)
(2)設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)
由A1、P、M三點(diǎn)共線,得(x0+
2
)y=y0(x+
2
)
   …③
由A2、Q、M三點(diǎn)共線,得(x0-
2
)y=-y0(x-
2
)
   …④
聯(lián)立③、④,解得x0=
2
x
,y0=
2
y
x
 
∵P(x0,y0)在雙曲線上,∴
(
2
x
)2
2
-(
2
y
x
)2=1

∴軌跡E的方程為
x2
2
+y2=1
(x≠0,y≠0)
(3)由題意直線l的斜率不為0.故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1代入
x2
2
+y2=1
中,得(k2+2)y2+2ky-1=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=
-2k
k2+2
  …⑤y1y2=
-1
k2+2
  …⑥
FA
FB
,∴有
y1
y2
(λ<0)
將⑤式平方除以⑥式,得
y1
y2
+
y2
y1
+2=-
4k2
k2+2
,即λ+
1
λ
+2=-
4k2
k2+2
,
由λ∈[-2,-1],可得λ+
1
λ
+2≤0

-
-4k2
k2+2
≤0
,∴0≤k2
2
7

TA
+
TB
=(x1+x2-4,y1+y2
|
TA
+
TB
|2
=(x1+x2-4)2+(y1+y22=16-
28
k2+2
+
8
(k2+2)2

令t=
1
k2+2
,∵0≤k2
2
7
,∴
7
16
1
k2+2
1
2
,即t∈[
7
16
,
1
2
]
|
TA
+
TB
|2
=f(t)=8t2-28t+16=8(t-
7
4
2-
17
2

而t∈[
7
16
1
2
],∴f(t)∈[4,
169
32
]
∴|
TA
+
TB
|∈[2,
13
2
8
].
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)雙曲線C:
x2
2
-y2=1
的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q.若直線l與x軸正半軸的交點(diǎn)為M,且
A1P
A2Q
=1
,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為( 。
A、(
3
2
,0)
B、(2,0)
C、(
3
,0)
D、(3,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)雙曲線C:
x2
2
-y2=1
的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p,Q.
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T(mén),且
A1P
A2Q
=1
,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)雙曲線C:
x2
2
-y2=1
的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線a與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)S、T.
(1)求直線A1S與直線A2T的交點(diǎn)H的軌跡E的方程;
(2)設(shè)A,B是曲線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與曲線E交于P,Q兩點(diǎn),直線l:x=
1
2
,線段AB的中點(diǎn)M在直線l上,若F(1,0),求
FP
FQ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)雙曲線C:
x2
2
-y2=1
的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p,Q.
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T(mén),且
A1P
A2Q
=1
,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程.

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