Question

(本題滿分13分) 如圖，是離心率為的橢圓,
：()的左、右焦點(diǎn)，直線：將線段分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)是上的兩個動點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為，理由見解析

試題分析：(Ⅰ) 設(shè)，則＝，所以＝1．
因?yàn)殡x心率e＝，所以＝．
所以橢圓C的方程為．                                                      ……5分
(Ⅱ) 當(dāng)直線垂直于軸時，直線方程為＝－，
此時(，0)、(,0) ，．不合題意；                           ……7分
當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)存在點(diǎn)(－，) (≠0)，直線的斜率為，
．
由  得＝0，則，
故．此時，直線斜率為，的直線方程為．
即．
聯(lián)立 消去，整理得．
所以，．                                           ……10分
由題意0，于是

                      =0．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001258857399.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓內(nèi)，符合條件；
綜上，存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為．                               ……13分
點(diǎn)評：設(shè)直線方程時，要考慮到直線方程斜率是否存在；對于探究性問題，可以先假設(shè)存在，再進(jìn)行計(jì)算，如果能求出來，就說明存在，如果求不出來或者得出矛盾，則說明不存在.