Question

【題目】

已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；

（2）將數(shù)列的前四項(xiàng)抽取其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得對(duì)任意，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，一般利用待定系數(shù)法，本題已知公差，因此只需確定一項(xiàng)即可：由利用等差數(shù)列性質(zhì)得，，再根據(jù)等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式得：，最后利用等差數(shù)列和項(xiàng)公式求前項(xiàng)和，（2）先根據(jù)題意確定數(shù)列的前四項(xiàng)抽取的是哪一項(xiàng)，再根據(jù)剩下三項(xiàng)，利用待定系數(shù)法求等比數(shù)列通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)存在性問(wèn)題及恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題：，為二次函數(shù)，可根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸求其最大值，需注意，而的最值，需根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定.

試題解析：

解：（1）為等差數(shù)列，且，，即，

又公差，，．

，．

（2）由（1）知數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，

等比數(shù)列的前項(xiàng)為，，，

，，

，①

，②

①②得

．

，．

，

，且，

時(shí)，．

又，

時(shí)，，

存在，使得對(duì)任意，總有成立．

，，

實(shí)數(shù)的取值范圍為．