Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，都有an≥

2

x

-

1

x2

-

2

3nx2

，n=1，2，…成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列，證明{

1

an

-1}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)，作差配方，證明其小于等于0即可．

解答：（Ⅰ）解：∵an+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)…（2分）
又

1

an

-1=

2

3

，
∴{

1

an

-1}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列…（4分）
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

an

=1+

2

3n

，
∵

2

x

-

2

3nx2

-

1

x2

-an=

2

x

-

1

x2

(

2

3n

+1)-an=

2

x

-

1

x2an

-an=-(

an

-

1

x an

)2≤0，
∴原不等式成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，構(gòu)造新數(shù)列是關(guān)鍵．