已知函數(shù)f(x)=
a×2x-1
1+2x
(a∈R)．
（I）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（III）當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）函數(shù)f(x)=
a×2x-1
1+2x
(a∈R)，有1+2x＞1恒成立，
則f（x）的定義域為R，
又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）=0，
則f（0）=
a×20-1
1+20
=0，解可得a=1，
此時f（x）=
2x-1
1+2x
；
（Ⅱ）當a=5時，f（x）=
5×2x-1
1+2x
=5-
6
1+2x
，
假設(shè)f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心的坐標為（h，k），
則對于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（
1
1+2h+x
+
1
1+2h-x
）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2h+x+（4-2k）×2h-x+[（10-2k）×22h-2-2k]=0恒成立，
于是有
4-2k=0
(10-2k)×22h-2-2k=0
，解可得h=0，k=2，
故當a=5時，函數(shù)f（x）的圖象存在對稱中心，且其對稱中心為（0，2）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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