Question

16．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，點P是△ABC內(nèi)一點（含邊界），若$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，則|$\overrightarrow{AP}$|的取值范圍為（　�。�

• A． [2，$\frac{2\sqrt{10+3\sqrt{3}}}{3}$]
• B． [2，$\frac{8}{3}$]
• C． [0，$\frac{2\sqrt{13}}{3}$]
• D． [2，$\frac{2\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 在AB上取一點D，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．過D，作DH∥AC，交AC于H，可得點P在線段DH上，當P在D處時，|$\overrightarrow{AP}$|最小為$\frac{2}{3}AB=2$；當P在H處時，|$\overrightarrow{AP}$|最大，∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且B，P，C共線，⇒${\overrightarrow{AP}}^{2}=\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{A{B}^{2}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{52}{9}$，即可得|$\overrightarrow{AP}$|的取值范圍．

解答 解：在AB上取一點D，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．過D，作DH∥AC，交AC于H，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且點P是△ABC內(nèi)一點（含邊界），∵點P在線段DH上
當P在D處時，|$\overrightarrow{AP}$|最小為$\frac{2}{3}AB=2$，
當P在H處時，|$\overrightarrow{AP}$|最大，∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且B，P，C共線，∴$λ=\frac{1}{3}$
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，⇒${\overrightarrow{AP}}^{2}=\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{A{B}^{2}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{52}{9}$
則|$\overrightarrow{AP}$|的取值范圍為[2，$\frac{2\sqrt{13}}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查了向量的線性運算，向量的模運算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．