Question

19．二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展開式中所有項的二項式系數之和是64，則展開式中的常數項為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根據二項式展開式中所有項的二項式系數和是2ⁿ，求出n的值；再利用二項式展開式的通項公式求展開式中的常數項．

解答 解：二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展開式中所有項的二項式系數之和是
2ⁿ=64，
解得n=6；
∴二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）⁶展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（-\frac{1}{2x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2；
∴展開式中的常數項為：
T₂₊₁=（-1）²•${C}_{6}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了二項式系數和與展開式通項公式的應用問題，是基礎題．