Question

（2012•楊浦區(qū)一模）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Γ：x²=y上運(yùn)動(dòng)．
（1）求Γ的準(zhǔn)線方程；
（2）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6），F(xiàn)為拋物線Γ的焦點(diǎn)，求|AP|+|AF|的最小值，并求此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊過定點(diǎn)N（0，1），點(diǎn)M在BC上，且

AM

•

BC

=0，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程，可得拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，故可得準(zhǔn)線方程；
（2）利用拋物線的定義，將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論；
（3）利用向量的垂直關(guān)系，即可求M的軌跡方程．

解答：解：（1）由x²=y得拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，且2p=1，所以準(zhǔn)線為y=-

1

4

             …（3分）
（2）解：由x²=y得拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，且2p=1，所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

4

）                  …（4分）
由A作準(zhǔn)線為y=-

1

4

的垂線，垂足為Q，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P，A，Q共線時(shí)，|AP|+|AF|取得最小，最小值為6+

1

4

=

25

4

，…（7分）
此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）…（9分）
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），BC邊所在的方程過定點(diǎn)N（0，1），…（10分）
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，1-y)
∵

AM

•

BC

=0
∴

AM

•

MN

=0，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查軌跡方程的求解，定位定量是關(guān)鍵．