設(shè)點(diǎn)p是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),I為△PF1F2的內(nèi)心,若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,則該橢圓的離心率是
1
2
1
2
分析:設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì),結(jié)合三角形面積公式將S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2化簡(jiǎn)整理,可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|.由此結(jié)合橢圓離心率公式,即可得到該橢圓的離心率.
解答:解:設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,則
S△IPF1=
1
2
|PF1|•r,S△IPF2=
1
2
|PF2|•r,S△IF1F2=
1
2
|F1F2|•r,
∵S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,
1
2
|PF1|•r+
1
2
|PF2|•r=|F1F2|•r,可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|.
∴橢圓的離心率e=
c
a
=
2c
2a
=
|F1F2|
|PF1|+|PF2|
=
1
2

故答案為:
1
2
點(diǎn)評(píng):本題已知橢圓的焦點(diǎn)三角形的一個(gè)面積關(guān)系式,求橢圓的離心率.著重考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•上饒一模)設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),I為△PF1F2的內(nèi)心,若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,則該橢圓的離心率是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與圓x2+y2=3b2的一個(gè)交點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且|PF1|=3|PF2|,則橢圓的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•河?xùn)|區(qū)二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

(1)設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),M橢圓上的任意一點(diǎn),|MF|的最大值與最小值的算術(shù)平均等于4,橢圓的頂點(diǎn)A與N(-2,0)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,求此橢圓方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn),記∠F1PF2=θ,求證|PF1|•|PF2|=
2b2
1+cosθ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)點(diǎn)p是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),I為△PF1F2的內(nèi)心,若 S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,則該橢圓的離心率是______.

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