Question

已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性（不需要寫出理由）；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）+f（-x）=0，
即，
故．
另解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
故．
（2）由（1）知，
由上式易知f（x）在R上為減函數(shù)，
（3）：（解法一）又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）．
∵f（x）在R上為減函數(shù)，由上式得：t²-2t＞-2t²+k．
即對一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0
∴
解法二：由（1）知，又由題設條件得：
即
整理得，因底數(shù)4＞1，故3t²-2t-k＞0
上式對一切t∈R均成立，從而判別式△=4+12k＜0
∴
分析：（1）由題意可得f（x）+f（-x）=0對應任意的x都成立，代入函數(shù)可求a
另解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，代入可求a
（2）由（1）知，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)單調(diào)性
（3）：解法一：由f（x）是奇函數(shù)，可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），結(jié)合f（x）在R上為減函數(shù)，得：t²-2t＞-2t²+k．，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求
解法二：由（1）知，由單調(diào)性的定義可得，同法一可求
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）及奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0的應用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互關系的轉(zhuǎn)化，屬于函數(shù)的綜合應用．