Question

7．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，過A、B、F作圓C，若圓心C的橫縱坐標相等，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），即有圓心C在AF的中垂線上，可得x_C=$\frac{c-a}{2}$，再由圓的定義可得|CA|=|CB|，運用兩點的距離公式和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），
即有圓心C在AF的中垂線上，可得x_C=$\frac{c-a}{2}$，
由題意可得圓心C（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{c-a}{2}$），
由|CA|=|CB|，
可得$\sqrt{（\frac{c+a}{2}）^{2}+（\frac{c-a}{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{c-a}{2}）^{2}+（\frac{c-a-2b}{2}）^{2}}$，
即有（c+a）²=（c-a-2b）²，
即（2c-2b）（2a+2b）=0，
由a＞b＞0，可得c=b，
由b²=a²-c²，可得c²=2a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用圓的定義，以及兩點的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．