Question

設(shè)橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，已知橢圓E上的任意一點(diǎn)P，滿足•的最小值為a²，過(guò)F₁作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．（參考公式：•=||•||cosθ=x₁x₂+y₁y₂）
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過(guò)F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求•的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則，
∴，
∵，
∴，∴a=2c，
又，∴，∴，a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為：；
（2）當(dāng)過(guò)F₁的直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A（-1，）B（-1，-），則•=；
當(dāng)過(guò)F₁的直線AB存在斜率時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
，，
所以•=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=
=+（k²+1）==-，
∵k²≥0，∴-3≤•＜，
綜上所述，∴-3≤•＜；
分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），用坐標(biāo)表示出•，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得其最小值，令最小值為a²，由長(zhǎng)軸長(zhǎng)可得=，結(jié)合a²=b²+c²即可解得a，b；
（2）當(dāng)過(guò)F₁的直線AB的斜率不存在時(shí)，容易求得此時(shí)•；當(dāng)過(guò)F₁的直線AB存在斜率時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積運(yùn)算可把•表示為關(guān)于k的函數(shù)，根據(jù)k的取值范圍即可求得•的范圍，綜上即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基本知識(shí)及推理能力和運(yùn)算能力．