Question

已知函數(shù)f（x）=1-

x-1

ex

，g（x）=x-lnx．
（1）證明：g（x）≥1；
（2）證明：（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對g（x）進行求導，討論其單調(diào)性，確定其最小值來證明不等式．
（2）對f（x）單獨求導，討論其單調(diào)性，確定其最值，注意結合著（1）的結論，即x-lnx≥1，從而證明不等式．

解答： 解：（1）g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)，
令g′（x）＞0，x＞1；令g′（x）＜0，0＜x＜1．
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=1．
∴g（x）≥1．
（2）f′(x)=-

ex-(x-1)ex

e2x

=

x-2

ex

，
令f′（x）＞0，x＞2；令f′（x）＜0，0＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f(x)min=f(2)=1-

1

e2

，
∴f(x)≥1-

1

e2

．（當且僅當x=2時取等號）
又由（1）可知，g（x）=x-lnx≥1，（當且僅當x=1時取等號）
∴（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

點評：本題是導數(shù)簡單應用的考查，在處理問題時直接求導即可．值得一提的是，在第二問中，先觀察不等式右邊的式子恰好是函數(shù)f（x）在x=2處的函數(shù)值，再結合著第一問的結論，命題就不難證出了．