Question

已知雙曲線x²-3y²=3的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，以F為左焦點(diǎn)，以l為左準(zhǔn)線的橢圓C的中心為A，又A點(diǎn)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好在雙曲線的左準(zhǔn)線上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可求得F的坐標(biāo)，設(shè)出所求方程，根據(jù)離心率求得A的坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)A與A’關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，表示出A′的坐標(biāo)代入直線x=-求得離心率e，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：依題意，F(xiàn)（2，0），l：
設(shè)所求方程為，0＜e＜1，
即（1-e²）x²-（4-3e²）x+y²，
其中心為
∵A與A′關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，
∴A′的坐標(biāo)為，
又A′在直線上，∴，解之得．
于是所求方程為：，即
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用，雙曲線與圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和和解決問(wèn)題的能力．