Question

設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如．令的值．
（參考數(shù)據(jù)：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值為f（0）=0；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，令代入并化簡得，再令得，，即結(jié)論得到證明；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，令，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得，，再由參考數(shù)據(jù)和條件進(jìn)行求解．
解答：解；（Ⅰ）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當(dāng)-1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)x∈（-1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立，
故當(dāng)x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（這時x＞-1且x≠0），得．
上式兩邊同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即，②
當(dāng)n＞1時，在①中令（這時x＞-1且x≠0），
類似可得，③
且當(dāng)n=1時，③也成立．
綜合②，③得，④
（Ⅲ）在④中，令，n分別取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
將以上各式相加，并整理得．
代入數(shù)據(jù)計算，可得
由[S]的定義，得[S]=211．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求最值，以及學(xué)生的創(chuàng)新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出其它結(jié)論，難度較大，注意利用上一問的結(jié)論．