Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的定義域，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線是y=kx-2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）先求出在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，又過(guò)點(diǎn)（x₀，f（x₀））求出切線方程，利用所求切線與y=kx-2是同一直線，建立等量關(guān)系，求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋海?，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴f′(x)=

2

x

-1．
令f'（x）=0，則x=2．（3分）
當(dāng)x在（0，+∞）上變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知：f（x₀）=2lnx₀-x₀，（7分）
曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為k=f′(x0)=

2

x0

-1．（8分）
∴切線方程為：y-f(x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．（9分）
∴y-(2lnx0-x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．
∴y=(

2

x0

-1)x+2lnx0-2．（10分）
∵切線方程為y=kx-2，
∴2lnx₀-2=-2．
∴x₀=1．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的斜率k=

2

x0

-1=1．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，曲線某點(diǎn)處的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．