Question

（2013•杭州模擬）已知函數(shù)f(x)=ax+

a

x

+b（a，b∈R）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A．（0，1]
• B．[1，

  9

  8

  ]
• C．(

  9

  8

  ，+∞)
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：先根據(jù)圖象在點(diǎn)（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，求得b=3-2a，再將f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，即可確定a的取值范圍．

解答：解：由題意，f（1）=2a+b∵函數(shù)f（x）=ax+

a

x

+b（a，b∈R）
∴f′（x）=a-

a

x2

，
∴f′（1）=0；
所以圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
設(shè)g（x）=f（x）-x=（a-1）x+

a

x

+3-2a，
∴g′（x）=a-1-

a

x2

，a≤0時(shí)，x²＞1，0＜

1

x2

＜1，∴0＜

a

x2

-＜-a，∴a-1-

a

x2

＜-1＜0；
0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，∴-

a

x2

＜0，∴a-1-

a

x2

＜0；
所以a＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（x）＞0不會(huì)恒成立，不滿足題意；
把a(bǔ)=1代入可得：g（x）=

1

x

+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合條件；
a＞1時(shí)，g′（x）=0 得：x=

a a-1

；
當(dāng)x＞

a a-1

時(shí)，g′（x）＞0；1＜x＜

a a-1

時(shí)，g′（x）＜0，
所以g（x）_min=g（

a a-1

）＞0即可，
即：（a-1）

a a-1

+

a

a a-1

+3-2a＞0
∴2

a(a-1)

＞2a-3．
①當(dāng)1＜a≤

3

2

時(shí)，上式恒成立；
②當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞

9

8

；
∴a＞

3

2

時(shí)，符合題意；綜上可知：a的取值范圍是：[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問題，解題時(shí)正確分類，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵