Question

（2013•楊浦區(qū)一模）（文） 已知函數(shù)f（x）=cos（x-

π

4

），
（1）若f（a）=

7 2

10

，求sin2α的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（a）=cos（α-

π

4

）=

7 2

10

，化簡(jiǎn)可得 sinα+cosα=

7

5

，平方可得 sin2α 的值．
（2）利用二倍角公式、兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn) g（x）的解析式為

1

2

cos2x，再根據(jù)x的范圍求得求g（x）
在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（a）=cos（α-

π

4

）=

7 2

10

，化簡(jiǎn)可得 sinα+cosα=

7

5

．…（3分）
平方得，1+sin2α=

49

25

，…（5分）
所以，sin2α=

24

25

．…（7分）
（2）因?yàn)?g（x）=f（x）•f（x+2π）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

2

2

（cosx+sinx）•

2

2

（cosx-sinx）
=

1

2

（cos²x-sin²x）=

1

2

cos2x． …（11分）
當(dāng) x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．…（12分）
所以，當(dāng)2x=0，即 x=0時(shí)，g（x）取得最大值為

1

2

；                             …（13分）
當(dāng)2x=

2π

3

，即 x=

π

3

時(shí)，g（x）取得最小值為-

1

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．