Question

如圖，在半徑為30cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上．
（1）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；
（2）若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），應(yīng)怎樣截取，才能使做出的圓柱形形罐子體積最大？并求最大面積．

Answer 1

分析：（1）【方法一】連接OC，設(shè)BC=x，矩形ABCD的面積為S；則S=AB•BC=2x

900-x2

=2

x2(900-x2)

，由基本不等式可得S的最大值以及對應(yīng)的x的取值；
【方法二】連接OC，設(shè)∠BOC=θ，矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函數(shù)的知識，得出S的最大值以及對應(yīng)BC的值．
（2）【方法一】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，由AB=2πr，得r，所以V=πr²h=

1

π

（900x-x³）；利用求導(dǎo)法，可得x=10

3

時(shí)，V取最大值，為

6000 3

π

；
【方法二】連接OC，設(shè)∠BOC=θ，圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V，則圓柱的底面半徑為r=

30cosθ

π

，高h(yuǎn)=30sinθ，所以V=πr²h=

27000

π

sinθcos²θ=

27000

π

（sinθ-sin³θ），用換元法，令t=sinθ，則V=

27000

π

（t-t³），再由求導(dǎo)法，得t=

3

3

時(shí)，此時(shí)BC=10

3

cm時(shí)，V取得最大值即可．

解答：解：如圖所示，
（1）【方法一】連接OC，設(shè)BC=x，矩形ABCD的面積為S；則AB=2

900-x2

（其中0＜x＜30），
∴S=2x

900-x2

=2

x2(900-x2)

≤x²+（900-x²）=900，當(dāng)且僅當(dāng)x²=900-x²，即x=15

2

時(shí)，S取最大值900；
所以，取BC=15

2

cm時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²．
【方法二】連接OC，設(shè)∠BOC=θ，矩形ABCD的 面積為S，則BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜

π

2

）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且當(dāng)sin2θ=1，即θ=

π

4

時(shí)，S取最大值為900，此時(shí)BC=15

2

；
所以，取BC=15

2

時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²．
（2）【方法一】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為x，體積為V，由AB=2

900-x2

=2πr，得r=

900-x2

π

，
∴V=πr²h=

1

π

（900x-x³），（其中0＜x＜30）；由V^′=

1

π

（900-3x²）=0，得x=10

3

；
因此V=

1

π

（900x-x³）在(0，10

3

)上是增函數(shù)，在（10

3

，30）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=10

3

時(shí)，V的最大值為

6000 3

π

，即取BC=10

3

cm時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為

6000 3

π

cm³．
【方法二】連接OC，設(shè)∠BOC=θ，圓柱底面半徑為r，高為h，體積為V，
則圓柱的底面半徑為r=

30cosθ

π

，高h(yuǎn)=30sinθ，（其中0＜θ＜

π

2

），
所以V=πr²h=

27000

π

sinθcos²θ=

27000

π

（sinθ-sin³θ），
設(shè)t=sinθ，則V=

27000

π

（t-t³），由V^′=

27000

π

（1-3t²）=0，得t=

3

3

，
因此V=

27000

π

（t-t³）在（0，

3

3

）上是增函數(shù)，在（

3

3

，1）上是減函數(shù)；
所以，當(dāng)t=

3

3

時(shí)，即sinθ=

3

3

，此時(shí)BC=10

3

cm時(shí)，V有最大值，為

6000 3

π

cm³．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)，三次函數(shù)的最值問題，這里應(yīng)用了基本不等式，以及求導(dǎo)數(shù)的方法求出了函數(shù)的最值．