Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）、（3）見解析.

【解析】本題重點(diǎn)考查了導(dǎo)函數(shù)的求法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值的求法等，要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：（1）求斜率：在曲線的某點(diǎn)有切線，則求導(dǎo)后把橫坐標(biāo)代進(jìn)去，則為切線的斜率；（2）單調(diào)性的判斷：，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減.要熟練一些函數(shù)單調(diào)性的方法.

解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立.

令，有得 ，得.

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3,

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，（舍去），

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，滿足條件.

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，（舍去），

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3.

(Ⅲ)令，由（2）知，.令，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增

∴    

∴即