已知A、B、C三點共線，O為直線外任意一點，且
OA
=m
OB
+n
OC
（m，n＞0），則
1
m
+
9
n
的最小值為
 
．
考點：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義
專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：利用向量共線定理可得m+n=1，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
解答： 解：如圖所示，
∵A、B、C三點共線，
∴存在實數(shù)λ使得
BA
=λ
AC
，（λ＞0）．
∴
OA
=
OB
+λ(
OC
-
OA
)，
化為
OA
=
1
1+λ
OB
+
λ
1+λ
OC
，
與
OA
=m
OB
+n
OC
（m，n＞0）比較可得，
m=
1
1+λ
，n=
λ
1+λ
，
∴m+n=
1
1+λ
+
λ
1+λ
=1．
∴
1
m
+
9
n
=（m+n）(
1
m
+
9
n
)=10+
n
m
+
9m
n
≥10+2
n
m
•
9m
n
=16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=3m=
3
4
時取等號．
因此
1
m
+
9
n
的最小值為16．
故答案為：16．
點評：本題考查了向量共線定理、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

袋中有2個紅球，2個藍(lán)球，1個白球，從中一次取出2個球，則取出的球顏色相同的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y滿足不等式組
x+2y≥2
2x+y≤4
x-y≥-1
，則4|x-1|+y的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（
aπ
3
x），a為拋擲一顆骰子得到的點數(shù)，則函數(shù)f（x）在[0，4]上零點的個數(shù)小于5或大于6的概率為
 
．

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某程序框圖如圖所示，若輸入的a，b，c的值分別是3，4，5，則輸出的y值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四棱錐P-ABCD底面是一個棱長為2的菱形，且∠DAB=60°，各側(cè)面和底面所成角均為60°，則此棱錐內(nèi)切球體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在公比大于1的等比數(shù)列{an}中，a3a7=72，a2+a8=27，則a10=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按如圖所示程序框圖，可以輸出的函數(shù)為（　　）
A、2lnx
B、e|x|
C、cosx
D、
1
x2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)周期為π，其圖象的一條對稱軸是x=
π
3
，則此函數(shù)的解析式可以為（　　）
A、y=sin（
x
2
+
π
6
）
B、y=sin（2x+
π
6
）
C、y=sin（2x-
π
3
）
D、y=sin（2x-
π
6
）

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