Question

（2012•焦作模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=CD=2

5

，BC=AD=

5

．現(xiàn)沿著其對(duì)角線AC將D點(diǎn)向上翻折，使得二面角D-AC-B為直二面角．
（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面體ABCD外接球的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)D、B分別向AC引垂線，垂足分別為E、F，可證DE、AC、BF兩兩垂直．以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B為x軸，F(xiàn)C為y軸，平行于ED的方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，確定平面ABD的法向量

m

=（4，-2，1），平面BCD的法向量

n

=（1，2，4），利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)O為AC的中點(diǎn)，可得O為四面體ABCD的外接球的球心，從而可求四面體ABCD的體積．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D、B分別向AC引垂線，垂足分別為E、F，則AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2．
因?yàn)镈E⊥AC，面ACD∩面ABC=AC，二面角D-AC-B為直二面角，所以DE⊥平面ABC，
又因?yàn)锽F?平面ABC，所以DE⊥BF，故DE、AC、BF兩兩垂直．
如圖以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B為x軸，F(xiàn)C為y軸，平行于ED的方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則各點(diǎn)的坐標(biāo)如下A（0，-4，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，-3，2）．（3分）
（Ⅰ）

AD

=（0，1，2），

AB

=（2，4，0），

BC

=（-2，1，0），

CD

=（0，-4，2）
設(shè)平面ABD的法向量為

m

=（x，y，1），則

m • AB =0 m • AD =0

，∴

2x+4y=0 y+2=0

，∴

y=-2 x=4

，
即

m

=（4，-2，1）
設(shè)平面BCD的法向量為

n

=（1，b，c），則

n • BC =0 n • CD =0

，

-2+b=0 -4b+2c=0

，∴

b=2 c=4

即

n

=（1，2，4）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

4

21

．
由圖形知二面角A-BD-C平面角的余弦值為-

4

21

．（8分）
（Ⅱ）設(shè)O為AC的中點(diǎn)，∵△ABC與△ADC都為直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O為四面體ABCD的外接球的球心．
∴四面體ABCD的體積V=

4π

3

×(

5

2

)3=

125π

6

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查四面體體積的計(jì)算，考查利用空間向量解決空間角問題，屬于中檔題．