Question

如圖，長方體AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點(diǎn)，
（1）試在棱A₁D₁上找一點(diǎn)H，使EH∥平面FGB₁；
（2）求四面體EFGB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取A₁D₁的中點(diǎn)P，D₁P的中點(diǎn)H，連接DP、EH，通過EH∥平面FGB₁，說明EH∥B₁G，得到HD₁=A₁D₁．
（2）以D為原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量，求出E到平面FGB₁的距離d，底面，然后求四面體EFGB₁的體積．
解答：解：（1）取A₁D₁的中點(diǎn)P，D₁P的中點(diǎn)H，連接DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁．
即H在A₁D₁上，且HD₁=A₁D₁，使EH∥平面FGB₁                              （6分）
（2）以D為原點(diǎn)，直線DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則E（0，0，），F(xiàn)（0，1，1），B₁（1，2，1），G（，2，0），
∴，，，
設(shè)平面FGB₁的法向量
由得，∴x=-2，y=2，
∵E到平面FGB₁的距離d==
，，，
∵=，
∴sin∠FB₁G=．
∴．
         （12分）
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與平面的位置關(guān)系，探究點(diǎn)的位置，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．