Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足遞推關(guān)系式a_n+1=3a_n+3ⁿ-8（n∈N₊），且{$\frac{{{a_n}+λ}}{3^n}$}為等差數(shù)列，則λ的值是-4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義得：$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，把遞推公式代入化簡后由整體思想求出λ的值．

解答 解：因為{$\frac{{{a_n}+λ}}{3^n}$}為等差數(shù)列，
所以$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，d為常數(shù)，
因為a_n+1=3a_n+3ⁿ-8（n∈N₊），
所以$\frac{{3a}_{n}+{3}^{n}-8+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，
則左邊=$\frac{{3a}_{n}+{3}^{n}-8+λ-（3{a}_{n}+3λ）}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{{3}^{n}-8-2λ}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}+\frac{-8-2λ}{{3}^{n+1}}$為常數(shù)，
則-8-2λ=0，解得λ=-4，
故答案為：-4．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義，以及數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查整體思想，化簡、變形能力，屬于中檔題．