Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，從C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率以及三角形的面積求解雙曲線方程中的a，b，即可求解雙曲線方程．

解答 解：因為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，所以${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=5$，解得b=2a，從C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，可得$\frac{1}{2}ab=1$，解得a=1，b=2，
∴雙曲線方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．