Question

田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事．設(shè)齊王的3匹馬分別為A、B、C，田忌的3匹馬分別為a，b，c，6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A，a，B，b，C，c．兩人約定：6匹馬均需參賽，共賽3場(chǎng)，每場(chǎng)比賽雙方各出1匹馬，最終至少勝兩場(chǎng)者為獲勝．
（1）如果雙方均不知道對(duì)方的出馬順序，求田忌獲勝的概率；
（2）頗有心計(jì)的田忌賽前派探子到齊王處打探實(shí)情，得知齊王第一場(chǎng)必出A馬．那么，田忌應(yīng)怎樣安排馬的出場(chǎng)順序，才能使獲勝的概率最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知這是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的所有事件是可以通過(guò)列舉得到，在列舉出的結(jié)果中，看出符合條件的是哪些，結(jié)果只有一種，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）齊王第一場(chǎng)必出上等馬A，若田忌第一場(chǎng)必出上等馬a或中等馬b，則剩下二場(chǎng)，田忌至少輸一場(chǎng)，這時(shí)田忌必?cái)。疄榱耸棺约韩@勝的概率最大，田忌第一場(chǎng)應(yīng)出下等馬c，后兩場(chǎng)包括兩種情況，分別做出概率，得到結(jié)果．
解答：解：記A與a比賽為（A，a），其它同理
（l）齊王與田忌賽馬，有如下6種情況：
（A，a），（B，b），（C，c）；（A，a），（B，c），（C，b）；
（A，b），（B，c），（C，a）；（A，b），（B，a），（C，c）；
（A，c），（B，a），（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）．
其中田忌獲勝的只有一種：（A，c），（B，a），（C，b）．
∴田忌獲勝的概率為．
（2）已知齊王第一場(chǎng)必出上等馬A，若田忌第一場(chǎng)必出上等馬a或中等馬b，
則剩下二場(chǎng)，田忌至少輸一場(chǎng)，這時(shí)田忌必?cái)。?br />為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場(chǎng)應(yīng)出下等馬c．
后兩場(chǎng)有兩種情形：
①若齊王第二場(chǎng)派出中等馬B，
可能的對(duì)陣為：（B，a），（C，b）或（B，b），（C，a）．
田忌獲勝的概率為．
②若齊王第二場(chǎng)派出下等馬C，
可能的對(duì)陣為：（C，a），（B，b）或（C，b），（B，a）．
田忌獲勝的概率也為．
∴田忌按c，a，b或c，b，a的順序出馬，
才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大．
點(diǎn)評(píng)：古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問(wèn)題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體，主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．